05/4/13(Wednesday)

naka64の日記(beta group)

以前にキーワードでの荒らしを実行していたりといった方からのコメントや、実際の荒らしコメントについては、問答無用で削除を含む何らかの対処を取ることがありますので念のため。メールで連絡はこちら。

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05/4/13(Wednesday)

■ [雑]解いてみよう 21:22

$x=\frac{a}{b}$ , $y=\frac{c}{d}$ ,合計となる整数を $m$ と置くと, もとの式は

$(\frac{a}{b})^2+(\frac{c}{d})^2=m$ となる。

ここで、 $a$ と $b$ は互いに素または $a=0$ 、 $c$ と $d$ も互いに素または $c=0$ 、 $a,b,c,d,m$ は整数( $b\neq{}0, d\neq{}0$ )とおいても一般性を失わない。ただし、本稿では $m\ge{}2$ の範囲で検討する。

通分すると $\frac{a^2d^2+b^2c^2}{b^2d^2}=m$ 。^イキ

~~$b^2$ を両辺にかけて $a^2+(\frac{bc}{d})^2=mb^2$ 。従って $\frac{bc}{d}$ は整数で、 $b=hd$ とおける~~^*1。

~~同じように $d^2$ を両辺にかけると $\frac{ad}{b}$ が整数となって $d=kb$ とおける。~~

~~従って $b=hkb$ → $h=k=1$ or $h=k=-1$ → $b^2=d^2$ となって、もとの式は~~ $a^2+c^2=mb^2$ ~~に帰着する。~~

$b^2d^2$ を両辺にかけて $(ad)^2+(bc)^2=m(bd)^2$

これを $m$ を法とした式に置き換えると $(ad)^2+(bc)^2=0(\rm{mod}\,m)$ 。

あとは一定の $m$ のときに $a$ ～ $d$ の組み合わせで $(ad)^2+(bc)^2(\rm{mod}\,m)$ がどう推移するか点検すればよい。

ただし、 $\,0\le{}a\lt{}m$ , $\,0\le{}b\lt{}m$ , $\,0\le{}c\lt{}m$ , $\,0\le{}d\lt{}m$ を点検すれば十分であることに注意する。

さらに、 $a=c=0(\rm{mod}\,m)$ のときは $a$ と $b$ が共通素因数を持つか $c$ と $d$ すなわち $b$ が共通素因数を持つか $m=0$ かということになってしまうのでいずれにしても矛盾ないしここでの検討から外すべき場合に帰着する。

~~従って、点検すべき範囲は $\,0\lt{}a\lt{}m$ , $\,0\le{}c\lt{}m$ となる。~~

また、題意から $a=b=0$ と $c=d=0$ の場合は点検対象から除外される。

そうすると、 $m=3$ のときは式を満たす $a$ ～ $d$ の組み合わせ~~が存在しないことがわかる~~は $a=c=0$ and $b\neq{}0$ and $d\neq{}0$ 、 $b=d=0$ and $a\neq{}0$ and $c\neq{}0$ の8通り。ただし、これらのケースでは、 $m$ が素数であるため、法をとらない式に戻し、素因数分解したときに両辺の素因数 $m$ の数が合わなくなる。

従って、 $m=3$ については題意を導くことができた。

[追記]<ins>～</ins>で追加をかけました。

[追記の追記]う、h/kを整数に限ったのがうそだったみたいです。素直に4重ループに。＞d:id:hyukiさま、d:id:hoshikuzuさま。

*1： ~~$c=0$ なら $d=1$ 。 $b=hd$ の一般性は崩壊しない。~~

hoshikuzu2005/04/13 23:34綺麗な証明ですね。自然数ではm=5 と m=13 の時にありそうですがもっと自明なものはあるでしょうか？

naka642005/04/14 04:43ちょっと不足な箇所があったので追加します。
0<=j<=iな関係で整数i,jを任意に決めてi^2+j^2→mとしてしまえばそのmは有理数の自乗の和に分解できるはずなので、それをうまく仕分けするのに悩みました。

hyuki2005/04/15 22:53結城です。b^2 = d^2が導けるというのは衝撃でした。そうなんだ…。結城も解答を出しましたので、見てみてください（間違ってないといいなあ）。
http://www.hyuki.com/diary/200504#i20050415110000

naka642005/04/16 05:03すみません、h・kを整数固定にするのがうそだったようです。

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